Действия дискретных систем автоматического управления. Импульсный элемент (ИЭ)

К дискретным системам относятся релейные, импульсные и цифровые системы автоматического управления и регулирования (см. § 1.12).

Релейные системы являются существенно нелинейными и исследуются методами, излагаемыми в гл. 8. В связи с этим далее термин «дискретные автоматические системы» (ДАС) относится только к импульсным и цифровым системам управления, рассматриваемым в линейном приближении.

Общим для импульсных и цифровых систем является наличие эффекта квантования сигналов по времени. Импульсная и цифровая системы регулирования отличаются от непрерывных систем наличием в канале управления импульсного элемента (ИЭ), преобразующего непрерывную величину в последовательность импульсов той или иной формы.

Любая дискретная система может рассматриваться в виде совокупности импульсного элемента и некоторой непрерывной части, объединяющей все элементы и устройства непрерывного действия.

В реальных импульсных системах регулирования ИЭ обычно включается в цепь сигнала ошибки (см. рис. 1.48). Поэтому в большинстве случаев функциональная схема замкнутой импульсной системы с одним импульсным элементом ИЭ и непрерывной частью НЧ может быть приведена к виду, представленному на рис. 7.1.

В реальных цифровых системах управления цифровая управляющая машина (ЦУМ) может выполнять функции задающего, сравнивающего и корректирующего устройств в различных вариантах применения .

В наиболее общем варианте при исследовании динамики цифровых систем ЦУМ заменяется эквивалентной схемой, показанной на рис. 7.2, а, где импульсный элемент ИЭ символизирует дискретный характер входных сигналов машины; дискретный фильтр ДФ имитирует процесс выработки управляющих сигналов (процесс изменения закона модуляции импульсов, поступающих на его вход); релейный элемент РЭ с

Рис. 7.1. Функциональная схема замкнутой импульсной системы

многоступенчатой релейной характеристикой (см. рис. 1.41, б) учитывает эффект квантования выходных сигналов ЦУМ по уровню; экстраполятор Э отображает процесс преобразования дискретных значений управляющего сигнала в непрерывный сигнал.

Рис. 7.2. Эквивалентные схемы ЦУМ

Присущий цифровым системам эффект квантования по уровню делает их существенно нелинейными и резко усложняет их исследование. Так как обычно число разрядов кода ЦУМ для представления переменных, определяемое точностью их задания в системе, является большим, т. е. шаг квантования по уровню значений переменных является малым при большом числе уровней квантования (см. рис.

1.41, б), то эффект квантования сигналов по уровню может не учитываться. Для многих цифровых систем число разрядов ЦУМ определяется не задачами управления, а другими задачами - расчетными, информационно-логическими и пр. Поэтому основные свойства цифровых систем определяются эффектом квантования по времени, при этом эффект квантования по уровню вызывает лишь побочные явления, которые в линейном приближении могут не учитываться.

Рис. 7.3. Функциональные схемы замкнутых цифровых систем

При таком подходе эквивалентная схема ЦУМ будет иметь вид, показанный на рис. 7.2, б.

Функциональная схема цифровой системы для наиболее общего случая, когда на ЦУМ возлагаются функции задающего, сравнивающего и корректирующего устройств, представлена на рис. 7.3, а. Как видно, при пренебрежении эффектом квантования по уровню Цифровые системы сводятся к импульсным. Характерной особенностью импульсных систем, эквивалентных цифровым, является наличие дискретных фильтров и экстраполяторов. Эквивалентность импульсных и цифровых систем и особенности цифровых систем нарядно видны в случае, когда ЦУМ выполняет лишь функцию корректирующего устройства (рис. 7.3, б). Функциональная схема импульсной системы (см. рис. 7.1) может быть получена из схемы, показанной на рис. 7.3, б, путем исключения дискретного фильтра и экстраполятора.

Количественное изучение свойств дискретных систем управления требует перехода от функциональных схем к структурным. Методика

такого перехода при исследовании ДАС аналогична методике, применяемой в непрерывных системах (см. гл. 3), однако следует учитывать структурные особенности специфичных для дискретных систем элементов (импульсных элементов, дискретных фильтров и экспраполяторов).

Импульсные элементы.

Рассмотрим лишь наиболее распространенный импульсный элемент, осуществляющий амплитудно-импульсную модуляцию второго рода (см. § 1.12).

Рис. 7.4. Пояснение принципа работы ИЭ

Пусть в соответствии с рис. 7.1 х обозначает входную, выходную переменные элемента (рис. 7.4, а). Обозначим через функцию, характеризующую форму выходных импульсов. Физически она представляет собой первый импульс, возникающий на выходе импульсного элемента при или при любом входном сигнале, удовлетворяющем условию

Форма импульсов может быть самой разнообразной - прямоугольной, треугольной, экспоненциальной, колокольной и т. д. В любом случае

для (рис. 7.4, б). Здесь - период повторения импульсного элемента, у - скважность и - длительность импульсов

функция формы позволяет весьма просто написать аналитическое выражение для выходной величины импульсного элемента. На самом деле, при произвольном входном сигнале выходная величина импульсного элемента для моментов времени

описывается уравнением

(рис. 7.4, в). Здесь через обозначены импульсы, возникающие на выходе импульсного элемента в моменты времени Из формулы (7.1) следует, что для Поэтому выходная величина импульсного элемента для произвольного момента времени

Нетрудно заметить, что в правой части соотношения (7.4) фигурирует не функция а только ее дискретные значения Это свидетельствует о том, что импульсный элемент рассматриваемого типа реагирует не на весь входной сигнал, а только на его значения в дискретные моменты времени Иными словами, импульсный элемент выделяет из входного сигнала только его дискретные значения Информация о поведении сигнала в промежутках между моментами времени после прохождения этого сигнала через импульсный элемент теряется. В частности, выходная величина импульсного элемента будет одной и той же для самых различных сигналов если значения этих сигналов в моменты времени одинаковы.

Назовем идеальным импульсным элементом такой элемент, для которого функция формы представляет собой единичную -функцию (1.55): Условимся графически изображать такой импульсный элемент в виде ключа (рис. 7.4, г). Выходная величина идеального импульсного элемента представляет собой последовательность модулированных по «площади» -функций (рис. 7.4, д):

Реального физического смысла идеальный импульсный элемент не имеет и представляет собой просто полезную математическую абстракцию.

Введем еще понятие формирующего элемента, которым будем называть динамическое звено с передаточной функцией

(кликните для просмотра скана)

равной преобразованию Лапласа от функции описывающей форму импульса на выходе импульсного элемента (табл. 7.1).

Рассмотрим теперь последовательное соединение идеального импульсного и формирующего элементов (рис. 7.5). При таком соединении на вход звена с передаточной функцией (7.6) поступает последовательность модулированных -функций (7.5). Из формулы (7.6) следует, что функция представляет собой функцию веса формирующего элемента, т. е. реакцию формирующего элемента на единичную -функцию (см. § 2.5). Так как звено с передаточной функцией (7.6) является линейным, то его реакция на сигнал будет определяться соотношением

Поэтому для выходной величины схемы, изображенной на рис. 7.5, оказывается справедливой формула (7.4).

Рис. 7.5. Последовательное соединение идеального импульсного и формирующего элементов

Из приведенных рассуждений следует, что реальный импульсный элемент, осуществляющий амплитудно-импульсную модуляцию второго рода, может быть заменен эквивалентной ему в смысле прохождения сигнала структурной схемой, состоящей из последовательного соединения идеального импульсного и формирующего элементов. Такая замена впервые была предложена советским ученым Я. 3. Цыпкиным. Она приносит большую пользу при исследовании дискретных систем.

Заменив в системе, показанной на рис. 7.1, импульсный элемент его эквивалентной структурной схемой, получим эквивалентную структурную схему замкнутой импульсной системы с одним импульсным элементом, изображенную на рис. 7.6, а, где обозначает передаточную функцию непрерывной части (возмущающие

воздействия на этом рисунке для упрощения не показаны). Формирующий элемент и непрерывная часть в совокупности образуют так называемую приведенную непрерывную часть ПНЧ, передаточная функция которой (рис. 7.6, б)

К структурной схеме, показанной на рис. 7.6, б, может быть приведено большое число конкретных систем импульсного регулирования и управления.

Рис. 7.6. Эквивалентные структурные схемы замкнутой импульсной системы

Например, в импульсной системе регулирования температуры (см. рис. 1.48) используется импульсный элемент с прямоугольными импульсами скважности у (см. рис. 1.42, ж), передаточная функция формирующего элемента которого приведена в табл. 7.1. Если пренебречь инерционностью усилителя и двигателя и считать, что динамика объекта регулирования достаточно точно описывается уравнением апериодического звена первого порядка, то для рассматриваемой системы передаточная функция непрерывной части

где - коэффициент передачи непрерывной части, представляющий собой произведение коэффициентов передачи мостовой измерительной схемы, гальванометра, потенциометра, усилителя, двигателя, редуктора и объекта регулирования; Т - постоянная времени объекта регулирования.

Рис. 7.7. Эквивалентная структурная схема импульсной системы регулирования температуры

Поэтому эквивалентная структурная схема импульсной системы регулирования температуры принимает вид, показанный на рис. 7.7, где означает отклонение координаты движка задающего потенциометра мостовой схемы от некоторого исходного положения, у - отклонение температуры в отсеке от значения,

принятого за исходное при линеаризации уравнений объекта регулирования, отклонение напряжения, поступающего с потенциометра П на вход усилителя У.

М В цифровых автоматических системах (см. рис. 7.3) импульсный элемент лишь символизирует дискретный характер входных импульсов цифровой управляющей машины или устройства, поэтому форма его выходных импульсов во многих практических случаях не имеет значения, и, следовательно, с расчетной точки зрения удобно его представить в виде идеального импульсного элемента.

Рис. 7.8. Эквивалентные структурные схемы дискретного фильтра (а) и цифровой автоматической системы (б)

Дискретные фильтры.

На вход дискретного фильтра (см. рис. 7.2, 7.3) поступает последовательность модулированных -функций. В соответствии с алгоритмом управления дискретный фильтр изменяет закон модуляции последовательности входных идеальных импульсов, не меняя дискретной природы сигналов. Поэтому выходная переменная дискретного фильтра представляется также последовательностью -функций, что позволяет представить дискретный фильтр в виде эквивалентной структурной схемы, состоящей из некоторого непрерывного звена с передаточной функцией на выходе которого установлен идеальный импульсный элемент ИИЭ. работающий синхронно и синфазно с входным идеальным импульсным элементом (рис. 7.8, а). Для этой схемы предполагается, что время, затрачиваемое дискретным фильтром на производство вычислений, мало в сравнении с периодом дискретности

Экстраполяторы.

Экстраполятор предназначен для преобразования выходного сигнала дискретного фильтра в непрерывную величину, поступающую на вход непрерывной части системы. Возможные способы экстраполяции весьма разнообразны и сводятся к построению некоторой непрерывной функции времени (обычно многочлена), значения которой для достаточно близки к значениям сигнала, вырабатываемого цифровой машиной (при принятой идеализации - к значениям «площадей» -функций на выходе дискретного фильтра).

Простейший способ экстраполяции заключается в запоминании каждого значения дискретного сигнала на весь период дискретности 7V Такое запоминание может быть реализовано путем преобразования идеальных (мгновенных) импульсов на выходе дискретного фильтра в импульсы единичной скважности, длительность которых равна периоду повторения. В этом частном (но наиболее часто встречающемся) случае экстраполирующее устройство представляет собой формирующий элемент и может быть охарактеризовано передаточной функцией (7.6). В большинстве современных цифровых систем выходные данные цифровой машины преобразуются в последовательность прямоугольных импульсов единичной скважности (фиксируются на весь период дискретности). При этом передаточная функция формирующего устройства, эквивалентного экстраполятору (см. табл. 7.1),

Экстраполятор с передаточной функцией (7.9) часто называется экстраполятором нулевого порядка.

Рис. 7.9. Эквивалентные структурные схемы цифровой системы регулирования скорости вращения электрического двигателя (а) и цифровой следящей системы (б)

Все сказанное позволяет представить эквивалентную структурную схему цифровой автоматической системы в виде, показанном на рис. 7.8, б. Еще раз подчеркнем, что эта схема не учитывает эффект квантования входных сигналов по уровню. Кроме того, в ней не учтено время, затрачиваемое цифровой машиной на обработку поступающей информации. Как и в импульсных системах (см. рис. 7.6), на рис. 7.8, б формирующий элемент и непрерывная часть могут быть объединены в приведенную непрерывную часть с передаточной функцией (7.7).

К структурной схеме, показанной на рис. 7.8, б, могут быть сведены многие конкретные цифровые системы регулирования и управления. В качестве примера показаны эквивалентные структурные схемы цифровой системы регулирования скорости вращения электрического двигателя (см. рис. 1.52 и 7.9, а) и цифровой следящей системы (см. рис. 1.53 и 7.9, б). В обеих системах используется простейший

закон экстраполяции, которому соответствует передаточная функция (7.9). Так как цифровое вычислительное устройство в каждой из этих систем используется только для вычисления сигнала ошибки, то и дискретный фильтр на эквивалентных структурных схемах отсутствует. Что же касается уравнений (и соответствующих им передаточных функций) непрерывных частей, то они подробно рассмотрены в гл. 3 и не требуют пояснений. Заметим только, что (в отличие от непрерывного случая) коэффициент передачи непрерывной части на рис. 7.9 включает в себя коэффициенты передачи цифровых преобразователей (ИРС на рис. 1.52 и на рис. 1.53), цифрового сравнивающего устройства и преобразователя кода в напряжение.

Рис. 7.10. Эквивалентные структурные схемы одного контура цифровой системы угловой стабилизации

На рис. 7.10, а изображена эквивалентная структурная схема одного контура цифровой системы стабилизации угла тангажа жесткой статически нейтральной баллистической ракеты. Предполагается, что цифровая управляющая машина (БЦМ на рис. 1.54) выполняет функции корректирующего устройства. В этом случае

где - коэффициент передачи непрерывной части; Т - постоянная времени, характеризующая инерционность привода .

Если коррекция динамических свойств системы осуществляется с помощью непрерывных устройств, то и структурная схема Цифрового контура угловой стабилизации приобретает вид, показанный на рис. 7.10, б, где

Здесь - постоянная времени непрерывного корректирующего устройства, характеризующая интенсивность введения производной 13 закон регулирования. В этом случае ЦУМ или цифровое управляющее устройство выполняет функции сравнивающего устройства.

В некоторых случаях исследование дискретной автоматической системы можно приближенно свести к исследованию эквивалентной непрерывной системы, в которой совокупность импульсного элемента

и экстраполятора заменяется непрерывным звеном с передаточной функцией и сумматором, на который помимо основного сигнала поступает помеха от эффекта квантования по времени входного сигнала (рис. 7.11).

Рис. 7.11. Структурная схема не. прерывной системы, эквивалентной дискретной системе

Такое представление возможно в случаях, когда частота квантования по времени в системе велика по сравнению с частотой входного сигнала.

К дискретным системам относятся импульсные системы регулирования и системы, включающие в себя цифровую вычислительную машину (ЦВМ).

Импульсная система регулирования отличается от непрерывной наличием в канале управления импульсного элемента, преобразующего непрерывную величину в последовательность импульсов той или иной формы.

(t) ИЭ  * (t)

На рисунке импульсный элемент ИЭ установлен в канале управления, который является каналом ошибки. Последовательность импульсов с периодом Т поступает на непрерывную часть системы с передаточной функцией W (S ). Как и ранее g (t ) - входное воздействие, x (t )- регулируемая величина, ε (t )- ошибка САР, f (t )- возмущение.

Форма импульсов, генерируемых импульсным элементом, вообще говоря, оказывает влияние на динамику системы регулирования. Однако, в том случае, когда длительность импульсов мала по сравнению со временем переходного процесса непрерывной части, можно пренебречь влиянием, как формы импульса, так и принципа модуляции (амплитудная или широтная).

В этом случае последовательность реальных импульсов может быть заменена последовательностью δ -функций, модулируемых по площади. Реакция непрерывной части на каждый такой импульс представляет в этом случае ее весовую функцию (импульсную переходную характеристику), умноженную на коэффициент, равный площади импульса.

Огромные вычислительные и логические возможности ЭВМ определяют большие перспективы их использования при управлении объектами. Они вводятся в систему регулирования, когда требуется обрабатывать большие объемы информации и когда на ЭВМ возлагается решение ряда задач с обслуживанием нескольких зависимых или независимых каналов управления.

В наиболее схематическом виде система регулирования с ЭВМ изображена на рисунке.

Здесь g 1 , g 2 ,… g n -входные воздействия.

x 1, x 2, x 3 … x n -регулируемые величины.

u 1, u 2, u 3 … u n - выходные управляющие воздействия.

f 1, f 2, f 3 … f n - возмущения.

Рассмотрение системы со многими регулируемыми величинами представляет собой весьма громоздкую задачу. В дальнейшем ограничимся рассмотрением случая, когда ЭВМ вводится в одиночный контур с одной регулируемой величиной х и одним входным воздействием g, к которому могут быть сведены многие практические задачи.

АЦП γε 1 ЦАП ε 2 ε 3 ε 4

Здесь: АЦП- преобразователь аналог-код;

ЦАП- преобразователь код-аналог;

Т - период дискретности ЭВМ;

W о (s ) - передаточная функция объекта;

D (z )- алгоритм работы ЭВМ;

τ - временное запаздывание, вносимое ЭВМ;

W э (s )- передаточная функция экстраполятора.

Обычно экстраполирующее устройство представляет собой фиксатор, удерживающий выходной сигнал ЭВМ на одном уровне в течение такта работы машины. Этот случай, так называемого экстраполятора нулевого порядка, является наиболее распространенным. В более сложных случаях экстраполятор может внутри такта работы машины изменять выходной сигнал по линейному закону (экстраполятор первого порядка ), по закону квадратичной параболы (экстраполятор второго порядка ) и т.д.

Нелинейность, вносимая входными и выходными преобразователями, может быть представлена в виде нелинейных статических характеристик релейного типа. Они представляют собой многоступенчатую релейную характеристику. Число уровней характеристики m связано с числом двоичных разрядов n зависимостью.

m =2 n -1

Во входных преобразователях число разрядов обычно велико (10 - 20). Поэтому влиянием нелинейности АЦП часто можно пренебречь.

Во входных (ЦАП) преобразователях число разрядов бывает обычно малым, достигая в пределе одного. Это объясняется тем, что выходной преобразователь установлен, по существу, в канале ошибки САР, поэтому нелинейность выходного преобразователя может оказывать влияние на динамику замкнутой САР с ЭВМ. И это надо учитывать.

Во многих случаях представляется возможным пренебречь влиянием нелинейностью выходных преобразователей. Это позволяет свести САР с ЭВМ к линейной импульсной системе и воспользоваться хорошо развитым аппаратом расчета таких систем.

В простейшем случае, когда на ЭВМ возлагается задача определения ошибки = g - x необходимо положить на структурной схеме D (z )=1 . При использовании т.н. дискретной коррекции на ЭВМ возлагается задача улучшения динамических характеристик САР. В этом случае D (z )  1 .

На схеме наиболее простой способ использования ЭВМ в САР. Возможны более сложные случаи комбинированного управления, когда ЭВМ формирует выходной сигнал в функции не только ошибки = g - x но и вводит дополнительно сигнал пропорциональный скорости и ускорению изменения входного воздействия g / (t) и g // (t). Могут встречаться и иные схемы.

Цепей и т. п. В цифровых системах как алгоритмы управления, так и корректирующие средства реализуются программным путем в виде вычислительной процедуры, организованной в соответствии с разностным уравнением (15.7).

Применительно к передаточной функции ЦВМ (15.8) условие физической реализуемости выполняется, если степень полипома ее числителя не превышает степени полинома знаменателя.

При этом цифровая система формально превращается в импульсную, так как их структурные схемы, изображенные на рис. 15.3 и рис. 14.7, будут одинаковыми. Однако фактически эти системы останутся принципиально различными.

сохраняется весь комплекс сложных устройств (ЦВМ,

не является рациональным.

соответствующие рассмотренным в линейным непрерывным алгоритмам. В качестве аналога производной использована не первая разность

Для вычисления интеграла применены известные приближенные методы интегрирования.

При осуществлении дискретной коррекции желаемая передаточная функция 0(2) может быть определена следующим образом. Пусть известна передаточная функция исходной не скорректированной системы

а в процессе решения задачи синтеза определена желаемая передаточная функция разомкнутой системы

Тогда искомая передаточная функция дискретного корректирующего устройства (передаточная функция ЦВМ)

То вместо (15.13) получим:

должно производиться с учетом некоторых ограничений. Во-первых, получающаяся передаточная функция ЦВМ (15.13) или (15.14) должна быть физически реализуемой, т. с. степень полинома ее числителя не должна превышать степени полинома знаменателя. Во-вторых

скорректированная система должна быть грубой, т. е. малое изменение ее параметров не должно приводить к существенному изменению характера протекающих в ней процессов.

Невыполнение условий грубости вызывает неустойчивость системы.

Поясним сказанное примером. Рассмотрим систему (рис. 15.3), передаточная функция непрерывной части которой равна

)

Введем в систему дискретное корректирующее устройство с передаточной функцией

В результате получим передаточную функцию разомкнутой системы (15.12)

Таким образом, условие грубости нарушено.

остались прежними. Тогда передаточная функция разомкнутой системы

Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

) привело к существенному изменению поведения системы.

Следует отметить, что даже при идеальной компенсации (что, конечно, практически невозможно) сделанный ранее вывод об устойчивости замкнутой системы с передаточной функцией в разомкнутом состоянии (15.17) оказывается неверным. Это связано с тем, что передаточные функции получаются при нулевых начальных условиях, а последствия нарушения условии грубости проявляются при ненулевых начальных условиях. Чтобы убедиться в этом, составим разностные уравнения (см. § 14.3), соответствующие передаточным функциям (15.15) и (15.16):

последовательно

неограниченно увеличивается, т. е. замкнутая система неустойчива.

Вместо формул (15.13) и (15.14) может применяться соотношение, связывающее частотные передаточные функции

или соответствующие им логарифмические частотные характеристики

Получить передаточную

К z-преобразованию -

имела степень числителя не больше, чем степень знаменателя.

Поясним сказанное примером. Пусть в цифровой системе с экстраполятором пулевого порядка передаточная функция непрерывной части

соответствует интегрирующему звену второго порядка. Тогда без коррекции имеем

То желаемая частотная передаточная функция

Дискретная частотная передаточная функция требуемого корректирующего звена последовательного типа

Переход к передаточной функции ЦВМ дает

соответствует границе устойчивости третьего тина и нарушаются условия грубости.

Заметим, что получившаяся частотная передаточная функция корректирующего устройства (15.21) не может быть реализована, вообще говоря, и в непрерывном варианте. Эта функция соответствует бесконечному подъему усиления при росте частоты до бесконечности. При реализации в дискретном варианте эта функция приводит к не

устойчивой программе ЦВМ.

в другом виде (рис. 15.4). Желаемая передаточная функция

Передаточная функция корректирующего устройства в этом случае имеет вид

Этой передаточной функции соответствует устойчивая программа ЦВМ, так как условия грубости не нарушаются.

А показатель колебательности М = 1,5. Дальнейший расчет произведем в соответствии с формулами § 12.6. Базовая частота л. а. х.

Допустимое значение суммы малых постоянных времени для передаточной функции (15.23) равно периоду дискретности:

Примем период дискретности Т= 0,0346 с. Передаточная функция ЦВМ (15.25) имеет вид

С целью повышения точности ЦВМ может быть использована для повышения порядка астатизма системы или реализации комбинированного управления.

для их дискретных апалогов приведены в табл. 15.1.

Поэтому повышение порядка астатизма цифровой системы может быть достигнуто за счет как непрерывных, так и дискретных интеграторов.

будет иметь пульсации.

Исследуем вначале возможность появления пульсаций исходя из физических соображений.

Тогда в режиме

будет изменяться так, как показано па рис. 15.5, а

будут такими же по форме, как па рис. 15.5, а, но при пулевой ошибке.

имеет разрывный характер, что приводит к появлению пульсаций. Таким образом, система может воспроизводить линейно изменяющееся задающее воздействие без пульсаций (но с ошибкой) только при наличии в ней непрерывного интегратора. Для устранения скоростной ошибки можно использовать дополнительно как непрерывные, так и дискретные интеграторы.

будет изменяться так, как показано на рис. 15.5, б, а при наличии двух дискретных интеграторов - как на рис. 15.5, в.

Для исследования возможности появления пульсаций можно использовать также формулу (14.102). Из нее с учетом выражения (14.67) получим

не зависит от е, то пульсации отсутствуют.

В качестве примера рассмотрим систему, передаточная функция непрерывной части которой

при наличии дискретного аналога интегрирующего звена с передаточной функцией

По формулам (14.60) и (14.62) находим:

Передаточные функции разомкнутой системы (15.10) и (15.9) имеют вид

Его изображение

По формуле (15.26) находим установившуюся ошибку системы

Таким образом, при введении дискретного интегратора статическая ошибка полностью устраняется, что соответствует сделанному ранее выводу.

Аналогично предыдущему получаем:

В цифровых системах возможно использование комбинированного управления но задающему или возмущающему воздействиям. При выполнении заданных условий по точности комбинированное управление позволяет снизить требования к основному каналу

Комбинированное управление особенно удобно применять в тех случаях, когда задающее воздействие вычисляется в управляющей ЦВМ. В этом случае на ЦВМ может быть также возложена задача вычисления производных этого воздействия, что

позволяет просто реализовать схемы, аналогичные рассмотренным в § 9.2.Подобное положение возникает, например, при слежении телескопов за планетами, при управлении по счисляемым координатам и т. н. Структурная схема системы комбинированного управления для случая использования дополнительного канала с передаточной функцией Е(г) по задающему воздействию изображена на рис. 15.7.

Эквивалентная передаточная функция замкнутой системы с учетом дополнительного канала

Эквивалентная передаточная функция разомкнутой системы. Эквивалентная передаточная функция по ошибке

Эквивалентная передаточная функция разомкнутой системы

можно получить условие полной

инвариантности

и формула (15.30) может быть приведена к виду

Необходимо использовать упрежденное на один такт значение

Задающего воздействия. Это связано с необходимостью применения прямых разностей, которые в дискретном плане должны здесь заменить процесс дифференцирования. При этом возможны следующие ситуации.

Если ЦВМ вычисляет значение задающего воздействия но некоторым заложенным в нее данным и использует при атом прогнозирование (например, при вычислении текущих координат небесных тел, спутников, ракет и др.), то вычисление будущего значения интересующей величины может быть легко сделано со сдвигом на практически любое число тактов, В этом случае реализация формулы (15.31) в принципе возможна. Однако практические трудности в реализации слишком сложных алгоритмов и ограничения в элементах не дают возможности получить полную инвариантность.

Если ЦВМ вычисляет задающее воздействие не по принципу прогнозирования, а в результате обработки поступающей текущей информации, то точная реализация формулы (15.31) оказывается невозможной. Тогда приходится ограничиться приближенной реализацией формулы (15.30) либо вводить в прямой капал дополнительное запаздывание па один такт. В нервом случае условие полной инвариантности (15.30) нарушается, во втором - вводится постоянное временное запаздывание па один такт в обработку задающего воздействия, что также нарушает условие инвариантности.

Таким образом, при использовании комбинированного управления приходится ориентироваться не на полную инвариантность, а па некоторое, во многих случаях весьма существенное, повышение точности.

Поскольку точность систем управления определяется низкочастотной частью л, а. х., а низкочастотная часть л. а. х. дискретных систем практически сливается ел. а. х. непрерывной части системы, то расчет дискретных систем комбинированного управления осуществляется аналогично непрерывному случаю .

К дискретным системам относятся – импульсные, цифровые и релейные.

В импульсных системах производится квантование сигнала по времени.

В релейных осуществляется квантование по уровню.

В цифровых и по времени и по уровню.

Для описания дискретных систем используются разностные уравнения.

Дискретные системы отличаются от обычных систем, тем, что в их состав помимо обыкновенных звеньев входят звенья осуществляющие одно или несколько квантований.

Линейная импульсная система состоит из одного или нескольких элементов и непрерывной части.

Для описания дискретных сигналов применяют решётчатую функцию.

НЭ – импульсный элемент.

Для импульсных систем в основном применяют 3 вида квантования сигнала по времени:

амплитудно-импульсная модуляция (амплитуда импульса  входному сигналу)

Широтно-импульсная модуляция (широта импульса  входному сигналу)

Фазоимпульсная модуляция (фаза импульса  входному сигналу)

Во всех случаях период чередования импульсов является постоянным

В случае амплитудно-импульсной модуляции (рис б) длительность каждого импульса постоянна, имеет одинаковое значение и обозначается  Т (0 <  < 1). Амплитуда импульсов принимает значения x

 = им / T – скважность

Для единичного импульса, помещённого в начало координат и имеющего длительность Т можно записать

S1(t) = 1(t) – 1(t - T)

Выходная величина импульса будет определятся значением x.

Аргумент (t - nT) означает сдвиг каждого импульса на величину nT

от начала координат.

В случае широтно-импульсной модуляции изменяется ширина импульса.

 n T – не должна превышать значение периода Т. аМ  1, х(t) < М

Величина импульса с остается постоянной и для “+” и для ”-”.

S1(t) = 1(t) – 1(t -  n T) – широтно-импульсная модуляция.(рис. г)

Фазоимпульсная модуляция.

При фазоимпульсной модуляции амплитуда импульса с и длительностью Т остаются постоянными. При этом вводится переменный сдвиг импульса по времени относительно каждого периода.

 n = ах aM  1 - 

В цифровых системах управления к квантованию по времени добавляется ещё и квантование по уровню. Если обозначим за h – размер одной ступеньки квантования по уровню, тогда величина каждого значения решётчатой функции будет представляться числом ступеней: y = k*h*sign x

k – число ступеней h (целое)

Значение решётчатой функции y запоминается на весь период квантования.

22. Импульсные системы управления.

Рассмотрим импульсную систему с амплитудно-импульсн. модуляцией.

Разомкнем эту систему и расчленим условно импульсный элемент на 2 части:

┴(идеальный квантователь) - дает решетчатую ф-ию, определенную в дискретный момент времени nT

S 1 (t) придает каждому импульсу Передаточ. и решетчатой функции определенную длительность

Импульсные системы описываются разностными уравнениями: Δf[n] =f – f[n] – первая разность решетчатой функции . Первая разность от Δf[n] называется разностью 2-го порядка или второй разностью :

Δ 2 f[n] =Δf – Δf[n] Δ k f[n] =Δ k -1 f – Δ k -1 f[n] – разность произвольного порядка.

Всякое соотношение, связывающее решетчатую функцию f[n] и её разности до некоторого порядка «k» называются разностными урав-ми .

Передаточная функция разомкнутой цепи импульсной системы – это отношение выходной величины к входной при нулевых начальных условиях.

W * (q, ε) =
.

В общем случае перед. ф-ия импульсной цепи

W * (q, ε) =

Всоответствии со свойствамиD-преобразований, передаточная ф-ия W * (q, ε) будет периодической вдоль мнимой оси.

т.к. ф-ия периодическая, то она будет определятся в полосе -π< ώ > π, -∞<α>∞ , ω=ώt – относительная частота

Передаточная ф-ия м.б. найдена и через Z-преобразования:

W * (Z, ε) =

Преобразование (6) отображает основную полосу -π< ώ > π на плоскости z, причем отрезок мнимой оси q=jώ в интервале -π< ώ > π отображается в окружности единичного радиуса z=e jώ , а левая часть этой полосы отображается – внутрь круга.

X 1 = a*sinωt X 2 = a*sin2ωt t=nT

АФЧХ разомкнутой импульсной системы определяется аналогично обыкновенной линейной системе:

W(S)→W(jω) g(t)=sinωt

Q=ST g[n]=sinώn n=t/T ώ=ωt

W * (jώ,ε)=W * (q, ε) – для импульсной системы.

По аналогии с непрерывными системами:

A * (ώ,ε) = │W * (jώ,ε)│ φ * (ώ,ε) = argW * (jώ,ε)

23. Нелинейные системы управления. Второй метод Ляпунова.

С т. зрения передачи и преобразования сигнала НЛ отлич. от линейных систем тем, что мгновенный коэфффициент передачи зависит от значения входного сигнала. САУ, содержащие звенья, динамика которых описывается НЛ дифференц. уравнениями относят к НЛ системам .

НС-динамика к-х описывается нелин-ми диф ур-ми, это сис-мы, имеющие нелинейную стст-ю хар-ку.

Систему можно представить в виде соединения из 2-х элементов:

можно свести к:

ЛЧ описывается обычными диф ур-ми с пост-ми коэфф-ми.

НЭ является безинерционным и его выходная величина и вход. величина связаны связаны между собой НЛ алгебраическим уравнением. Нелинейность обусловлена нелинейностью статической характеристики одного из элементов системы.

Нелин-е стат-ие хар-ки делятся на жесткие и гибкие.

Гибкие (не имеющие изломов)

Жесткие (к-ые апроксимирыются кусочно-линейными ф-ми)

звено с насыщением

звено с зоной нечув-ти

звено с мертвым ходом (люфт)

Релейные хар-ки.

Теория устойчивости нелинейных систем впервые была предложена Ляпуновым.

Невозмущенное движение устойчиво, если при достаточно малых нелинейных возмущениях, вызванное им возмущенное движение сколь угодно мало отличается от невозмущенного. При этом движение асимптотически устойчиво, если при t→∞ возмущенное движение→к невозмущенному.

Под невозмущ. движением Ляпунов понимал любой, интересующий нас в отношении устойчивости режим работы системы. Невозмущ. движению в фазовом пространстве соответствует начало координат. Этим режимом м. б. как установившийся статический или динамический, так и не установившийся. В качестве возмущения Ляпунов понимал только ненулевые нач. условия.

Ляпунов разработал 2 метода исследования нелинейных систем:

1метод применим только для исследования устойчивости в малом систем, т.е. к системам, к которым полностью применима линейная теория. Линейная система получается в результате линеаризации НЛ системы. Когда линеаризованная система находится на границе устойчивости, то об устойчивости исходной НЛ системы ничего нельзя сказать (м.б. устойчива или неустойчива, в зависимости от вида нелинейности).

2 метод – «прямой» метод. Достаточное условие сходимости : возмущенное движение асимптотически устойчиво, если можно указать такую знакоопределен. ф-ию V(ф-ия, которая при всех значениях переменной имеет один и тот же знак, а в нач. коорд. превращ. в ноль), производная от которой по t, определенная на основании диф. уравнения системы, так же явл. знакоопределен. функцией, но противоположного знака.

Знакоопределенной назыв-ся ф-ия, к-ая при всех знач-х переменных имеет один один знак, а в начале координат обращается в нуль.

Дискретные системы автоматического управления

В зависимости от способов преобразования сигналов САУ подразделяются на непрерывные и дискретные. В отличие от непрерывных систем в дискретных системах имеются элементы, превращающие непрерывные сигналы в последовательность импульсов или ряд квантованных сигналов. Такой процесс преобразования сигналов называется квантованием сигналов, а системы с импульсными элементами называются импульсными системами. Наличие квантованных сигналов вносит особенности в методы анализа и синтеза систем автоматического управления.

Классификация дискретных систем автоматического управления

Дискретные системы автоматического управления можно классифицировать по различным признакам. В зависимости от характера задающего воздействия дискретные САУ можно подразделить на: системы стабилизации , предназначенные для поддержания заданного значения выходной координаты, определяемого постоянным задающим воздействием; системы программного управления , воспроизводящие задающее воздействие, закон изменения которого во времени заранее известен, и следящие системы – их задающее воздействие представляет собой неизвестную функцию времени.

По принципу управления различают разомкнутые, замкнутые и комбинированные дискретные системы управления, когда для целей управления наряду со значениями выходных координат используют измеренные значения задающих и возмущающих воздействий.

Дискретные системы автоматического управления различают по виду квантования и модуляции сигналов. Различают три способа квантования сигналов: по времени; по уровню; смешанное по времени и уровню.

Квантование по времени осуществляется в импульсных системах, где из непрерывного сигнала выделяются значения дискретных сигналов через равные промежутки времени (рис. 2.1).

Квантование по уровню используется в релейных системах, где из непрерывного сигнала выделяются значения дискретных сигналов при достижении величины непрерывного сигнала равноотстоящих уровней (рис. 2.2).

Смешанное квантование происходит в цифровых автоматических системах (ЦАС), где преобразование непрерывного сигнала в дискретные проводится через равные промежутки времени , со значениями достигнутых равноотстоящих уровней (рис. 2.3, с отсечением дробной части).

По дискретным значениям исходного

или преобразованного сигнала формируются

импульсы определенной формы: прямоугольные, трапецеидальные, треугольные и т.д. В системах автоматического управления обычно используются прямоугольные импульсы, которые можно охарактеризовать следующими параметрами (рис.2.4): – амплитуда; – ширина импульса; – период повторения импульсов, – скважность.

В зависимости от того, какой из параметров прямоугольного импульса подвергается изменению в функции от величины непрерывного сигнала в дискретный момент времени, различают три вида импульсной модуляции: амплитудно-импульсную модуляцию (АИМ) при var , const (рис. 2.5); широтно-импульсную модуляцию (ШИМ) при const , var (рис. 2.6); время - импульсную модуляцию (ВИМ) при const , =var , =const : за счет изменения фазы – фазоимпульсную модуляцию (ФИМ); за счет изменения частоты – частотно-импульсную модуляцию (ЧИМ).

В отличие от рассмотренных выше типов импульсных систем с мгновенным временем съема сигнала (модуляцией I рода) существуют системы с конечным временем съема сигнала (модуляцией II рода). Такой вид амплитудно-импульсной модуляции может быть получен при использовании периодически замыкаемого ключа, представленного на рис.2.7. Здесь на выходе ключа через

равные промежутки времени вырабатываются импульсы, амплитуда которых изменяется в зависимости от величины входного непрерывного сигнала . Импульсные системы с амплитудно-импульсной модуляцией, представленной на рис.2.5 и рис.2.7, называются импульсными системами I-го и II-го рода соответственно.

Достоинством дискретных систем является: возможность управления

большими мощностями с высокой точностью; разделение во времени информационных сигналов при многоканальной передаче; возможность получения высокой точности и помехозащищенности за счет цифрового представления непрерывных сигналов; построение сложных законов управления при использовании ЦВМ в контуре управления. К недостаткам относится потеря информации о непрерывном сигнале в результате его квантования по времени или уровню, которая отражается на динамике системы.

В качестве примера на рис. 2.8 приведена функциональная схема одномерной ЦАС, которая включает в себя непрерывную часть системы, состоящую из объекта управления (ОУ), датчиков (Д), приводов исполнительных органов (ИО), и дискретную часть, реализованную в управляющей ЦВМ (УЦВМ). УЦВМ содержит преобразователи непрерывной (аналоговой) величины в код (АЦП), который поступает в ЦВМ для выработки управляющего сигнала. Цифровой сигнал с выхода ЦВМ проходит через преобразователь кода в непрерывную величину (ЦАП), который затем в виде импульсов поступает на непрерывную часть. Дискретность ввода и вывода информации в УЦВМ иллюстрируют импульсные элементы (ИЭ), работающие с периодом дискретности .

Процессы в дискретных системах описываются разностными и дифференциально-разностными уравнениями. Сточки зрения математических признаков различаются линейные и нелинейные дискретные системы, описываемые соответственно линейными и нелинейными уравнениями, а также стационарные и нестационарные дискретные системы, если коэффициенты их уравнений постоянны или зависят от времени.

Если для управления объектом с несколькими регулируемыми координатами используется несколько дискретных систем автоматического управления, в той или иной степени связанных между собой, то совокупность таких систем образует единую многомерную систему.

В дискретных САУ в ряде случаев используются различные импульсные элементы, периоды следования сигналов которых могут совпадать (синхронные системы )и различаться (асинхронные системы ). Если периоды следования импульсов в различных точках системы кратны между собой, то такие системы называются многократными. Если в дискретной САУ все импульсные элементы срабатывают в одни и те же моменты времени, то такие системы называются синфазными , в противном случае несинфазными . Примером несинфазной системы является ЦАС с учетом запаздывания управляющего сигнала, вызванного конечной скоростью обработки информации в УЦВМ.

См. литературу: .

Вопросы для самопроверки

1. В чем отличие непрерывных и импульсных систем? Приведите примеры технических систем.

2. Какие преимущества и недостатки имеют импульсные системы по сравнению с непрерывными системами?

3. Какими параметрами определятся импульсный элемент?

4. Перечислите основные виды модуляции и укажите в чем их различие?

5. В чем отличие импульсных систем 1-го и 2-го рода? Приведите примеры технических систем.

6. Почему системы автоматического управления с ЦВМ в контуре управления можно отнести к импульсным системам 1-го рода?

2.2. Линейные импульсные системы

Рассмотрим класс одномерных импульсных систем с амплитудно-импульсной модуляцией без учета нелинейностей функциональных элементов. К одномерным системам относятся системы управления с одним входом и одним выходом.

2.2.1. Математическое описание процесса квантования и свойства импульсного элемента

Пусть задана функция , определенная для дискретных моментов времени , которая называется решетчатой функцией (ее аргумент в отличие от непрерывных функций заключен в квадратные скобки). Процесс формирования прямоугольных импульсов сигнала с постоянным периодом , шириной импульсов и амплитудой (рис.2.5) записывается следующим образом

Выражение (2.1) можно переписать в другом виде

, (2.2)

где при , при . В формуле (2.2) выражение под знаком суммы определяет единичный импульс шириной для момента времени (рис.2.9).

Импульсным системам 2-го рода (рис. 2.7) соответствует выражение

,

которое при малом значении приближенно заменяется выражением (2.2).

передаточная функция формирователя импульсов (Ф), которой соответствует оригинал или весовая функция (рис. 2.10). Звено с передаточной функцией (2.4) также называют фиксатором или экстраполятором нулевого порядка.

Изображению , с учетом равенства

соответствует оригинал

где – дельта-функция, обладающая свойством: при ; при ; ; выражение обозначает несущий сигнал идеального импульсного элемента (ИЭ), формирующего последовательность - импульсов с периодом ; – любая функция порождающая решетчатую функцию . Тогда процесс формирования импульсов (2.2) можно представить с помощью одной из схем, приведенных на рис. 2.11, где для обозначения ИЭ используется элемент в виде "ключа".

Отметим, что сигнал введен в результате математических преобразований и не имеет строгого физического смысла. Однако использование позволяет представить любой реальный импульсный элемент, формирующий импульсы произвольной формы, в виде последовательного соединения идеального импульсного элемента и формирователя, весовая функция которого имеет заданную форму единичного импульса. При этом передаточную функцию формирователя можно отнести к непрерывной части системы и рассматривать импульсную систему как последовательное соединение идеального импульсного элемента и передаточной функции непрерывной части.

Для подтверждения сказанного, в качестве другого примера рассмотрим последовательность треугольных импульсов с амплитудой (рис.2.12), представленной в виде функции

где при , при , которой соответствует изображение

Здесь – передаточная функция формирователя треугольных импульсов с весовой функцией

представленной на рис. 2.13. Аналогично можно найти передаточную функцию формирователя для импульсов произвольной формы.

Если дискретные значения , формируются из непрерывного сигнала , то для получения сигнала необходимо использовать устройство выборки значения и его хранения в течение времени согласно выражению (2.1). При этом также справедлива формула (2.3).

Рассмотрим свойства идеального импульсного элемента при квантовании непрерывного сигнала . На выходе идеального импульсного элемента формируется сигнал . Установим связь изображения Лапласа с изображением . Для этого функцию перепишем в другом виде, используя свойство:

Поскольку функция представляется степенным рядом, то ее можно считать полиномом бесконечно большой степени и воспользоваться формулой разложения, учитывая, что уравнение имеет различные корни Тогда с помощью теоремы разложения на простейшие дроби получим

где коэффициенты определяются по формуле

.

С помощью обратного преобразования Лапласа найдем другой вид функции

Таким образом, изображение Лапласа можно записать в следующем виде

Учитывая свойство окончательно получим изображение сигнала на выходе идеального импульсного элемента

. (2.4)

Из выражения (2.4) следует, что для идеального импульсного элемента не удается определить передаточную функцию как отношение .

Изображение (2.4) обладает свойством , где – целое число. Действительно, это проверяется с помощью подстановки вместо в выражение , в результате чего получим

поскольку .

С помощью формулы (2.4) определим частотные свойства идеального импульсного элемента, полагая . Тогда получим

, (2.5)

Отсюда следует, что спектр выходной величины идеального импульсного элемента пропорционален сумме смещенных спектров непрерывной входной величины и периодичен по частоте с "периодом", равным частоте квантования. При этом спектр полностью определяется диапазоном частот , называемый основной полосой, или в силу симметрии диапазоном . На рис.2.14 представлены соответствующие амплитудно-частотные характеристики. Из соотношения (2.6) следует, что наличие в спектре входного сигнала частоты , лежащей вне диапазона , вызывает такой же эффект, как частота , где – целое число такое, что , т.е. идеальный импульсный элемент осуществляет перенос, транспонирование частот в диапазон . Из соотношения (2.5) следует, что спектр входного сигнала на выходе идеального импульсного элемента искажается, т.е. квантование сопряжено с потерей информации.

На рис.2.15 приведен вид амплитудно-частотной характеристики, соот-

Рис. 2.14 Рис. 2.15

ветствующей ограниченному спектру с частотой среза , когда не происходит искажения спектра . Если сигнал подать на вход фильтра с передаточной функцией и частотной характеристикой идеального фильтра